Мацлаурин и распадање неких функција

Студирање напредне математике треба да буду свесни да је сума од низа енергије у интервалу конвергенције низа нас, је континуиран и неограничен број пута диференцирано функција. Поставља се питање: да ли је могуће тврдити да, с обзиром произвољну функцију ф (к) - је сума од низа енергије? То је, под којим условима ф-јама је ф (к) може се представити низом енергије? Значај овог питања је да је могуће да се замени око £ Богословски је ф (к) је збир првих неколико условима серије снаге, то је полином. Таква функција замјена је прилично једноставан израз - полином - је згодан и у решавању одређених проблема у математичке анализе, односно у решавању интеграли при обрачуну диференцијалне једначине итд ...

Доказано да за неке ф-ии ф (к), где су деривати (н + 1) -а како могу израчунати, укључујући и најновије у околини (ниво а - Р; к ₀ + Р) тачка к = ниво а фер формула гласи:

Ова формула је добила име по чувеном научнику Брук Тејлор. Један број који се добија из претходног, се зове Мацлаурин серије:

Правило да чини могућим да се произведе експанзију у Мацлаурин серији:

1. Одредити деривате први, други, трећи, ... реда.
2. Израчунати колико су деривати у к = 0.
3. Снимање Мацлаурин серија за ову функцију, а затим одредити интервал конвергенције.
4. Одредити интервал (-Р; Р), где резидуални дио формуле Мацлаурин

Р _н (к) -> 0 за н -> бесконачно. Ако постоји, она функција ф (к) мора бити једнак суми Мацлаурин серије.

Размотримо сада је Мацлаурин серије за појединачне функције.

1. Дакле, први бити ф (к) = е ^к. Наравно, да њене карактеристике тако ф-Иа је изведен низ наредби, и ф ^{(к) (к)} = е ^к, где је к једнако свим природним бројевима. Замена х = 0. Добијамо ф ^{(к) (0)} = Е ⁰ = 1, К = 1,2 ... На основу наведеног, великог броја Е ^к То ће бити као што следи:

2. Мацлаурин серије за функцију ф (к) = син к. Одмах навести да Ф-увјете за све непознате деривата ће имати, осим ф ^'(к) = цос к = син (к + н / 2), ^{ф' '(к)} = -син к = син (к + 2 * н / ²⁾ ..., ф ^{(к) (к)} = син (к + н * к / 2), где је к једнако на било позитиван цео број. То је, што једноставне прорачуне, можемо закључити да је серија за ф (к) = грех х ће бити овако:

3. Сада размотримо ију ф-ф (к) = цос к. Није познато за све деривате произвољног реда, и ^{| Ф (К) (х)} | = | Цос (к + К * Н / 2) | <= 1, К = 1,2 ... Опет, то што су неке калкулације, налазимо да је серија за ф (к) = цос к ће изгледати овако:

Дакле, ми смо навели најважније карактеристике које могу бити проширена на Мацлаурин серији, али они допуњују Таилор серије за неке функције. Сада ћемо их навести као добро. Такође треба напоменути да Тејлор серија и Мацлаурин серије су важан део радионице низа одлука у више математике. Дакле, Тејлор серије.

1. Први је серија Ф-ИИ ф (к) = лн (1 + к). Као у претходним примерима, за то нам Ф (к) = лн (1 + к) се може савијати број, користећи општи облик Мацлаурин серије. али за ову функцију Мацлаурин могу се добити много лакше. Интегрисање геометријску серију, добијамо број за ф (к) = лн (1 + к) узорка:

2. И друго, који ће бити коначна у овом чланку, ће бити серија за ф (к) = арцтг к. За к припадају интервалу [-1; 1] је важећа распадање:

То је све. У овом чланку сам разгледао највише користи Таилор серије и Мацлаурин серију у вишим математике, посебно у економским и техничким факултетима.