Разлике - шта је то? Како пронаћи диференцијални функције?

Заједно са дериватима њихове функције разлике - ит неке од основних појмова из диференцијалног рачуна, главни одељак за математичке анализе. Као неодвојиво повезана, оба од којих је неколико векова у широкој употреби у решавању скоро свих проблема који су настали у току научне и техничке делатности.

Појава концепта диференцијалних

По први пут ставио до знања да такав диференцијал, један од оснивача (заједно са Исааком Ниутоном) диференцијалног рачуна познати немачки математичар Готфрид Вилгелм Леибнитс. Пре тога математичари 17. века. користити врло нејасне и нејасну идеју о некој инфинитезималне "неподељеном" у било којој познатој функције представља врло малу константну вредност, али не једнако нули, испод које вреднује функција не може бити једноставно. Стога је само један корак увођења појмова бескрајно корацима од функција аргумената и њихових корацима од функција које се могу изражених у виду деривате других. И ово корак је предузет скоро истовремено горе два велика научника.

Заснована на потреби да се баве хитне практичне механике проблеме с којима се суочавају науку убрзано развија индустрије и технологије, Њутн и Лајбниц створио заједничке начине проналажења функције стопе промјене (посебно у вези са механичком брзине тела познатог путање), што је довело до увођења таквих концепата, као деривата функције и диференцијал, а такође нашао проблем решења алгоритам инверзни начин познат пер се (варијабле) брзинама прешао пронаћи пут који је довео до концепт интегралног Алабама

У радовима Лајбниц и Њутн идеје почетку је изгледало да су разлике - је пропорционална увећањем од основних аргумената Δх корацима Δу функције које се могу успешно применити да се израчуна вредност овог другог. Другим речима, они су открили да је функција повећање може у сваком тренутку (у оквиру своје области дефиниције) изражава преко свог деривата како Δу = И '(к) Δх + αΔх где α Δх - остатак, са тенденцијом ка нули како Δх → 0, много брже него стварне Δх.

Према оснивачима математичке анализе, разлике - то је управо први термин у корацима од било које функције. Чак и без јасно дефинисаног лимита концепт секвенце схватио интуитивно да диференцијални вредност деривата обично функционишу када Δх → 0 - Δу / Δх → и '(к).

За разлику од Невтон, који је, пре свега, физичар и математички апарат сматра као помоћно средство за проучавање физичких проблема, Лајбниц више пажње на овај алата, укључујући и систем визуелних и разумљивим симболима математички вредности. То је био тај који је предложио стандардну нотацију за разлике функције ди = и "(х) ДКС, ДКС, а дериват функције као аргумент њихове везу и '(к) = ди / дк.

Модерна дефиниција

Оно што је разлика у односу на модерне математике? То је уско повезан са концептом променљиве прираста. Ако променљива и узима прву вредност и и = _{1, тада} и = и _{2, разлика} и ₂ ─ и ₁ се зове прираст вредности и. Пораст може бити позитиван. негативан и нула. Реч "пораст" је одређен ч, Δу снимање (читај 'делта и') означава вредност прираста и. па Δу = и ₂ ─ и _1.

Ако је вредност Δу произвољне функције и = ф (к) може се представити као Δу = А Δх + а, где А постоји зависност Δх, т. Е. А = цонст за дати к, а термин α када Δх → 0 тежи је чак и брже од стварног Δх, онда је први ( "мастер") термин пропорционална Δх, и за и = ф (к) диференцијала, означено ди или дф (к) (реад "и де", "де ефф из Кс"). Стога диференцијала - је "главни" линеарну у односу на компоненте инкрементима Δх функција.

механички објашњење

Лет с = ф (т) - растојање у праволинијски креће материјалну тачку из иницијалне позиције (т - време вожње). Прираст Δс - је начин тачка у временском интервалу Δт, а диференцијални ДС = ф (Т) Δт - овај пут, који ће тачка бити одржан у исто време Δт, ако је задржао брзину ф '(т), постигнут у времену т . Када бескрајно Δт ДС замишљени пут се разликује од стварне Δс бесконачно да вишег реда у односу на Δт. Ако је брзина у времену т није једнака нули, приближне дс вредност даје малу биас тачку.

геометриц интерпретатион

Нека линија Л је график и = ф (к). Тада Δ к = МК, Δу = КМ '(види. Доњу слику). Тангента, МН разбија Δу исећи на два дела, кн и НМ ". Прво и Δх је пропорционална кн = МК-∙ ТГ (угао КМН) = Δх ф '(к) т. Е КН је Ди диференцијал.

Други део разлике Δу НМ'дает ─ ди, када Δх → 0 Н.М. дужина 'опада брже него пораст аргумента, односно да има наредбу маленкости већи од Δх. У овом случају, ако ф '(к) = 0 (ни паралелна тангентних ОКС) сегмената КМ'и КН еквивалентним; другим речима НМ 'брзо опада (редослед уситњености њених виших) од укупног прираста Δу = КМ ". То је евидентно у Слици (приближавање сегмент М'к М НМ'составлиает све мањи проценат КМ "сегмента).

Дакле, графички диференцијални произвољна функција је једнака прираст ординати на тангенте.

Деривата и диференцијални

Фактор у првом року функције експресија прираста једнака вредности његовог деривата ф '(к). Стога, следећи однос - ди = ф '(к) Δх или дф (к) = ф' (к) Δх.

Познато је да је прираст независног аргумента је равна својој диференцијалну Δх = дк. Сходно томе, можемо написати: ф '(к) дк = ди.

Финдинг (понекад каже да је "одлука") разлики се врши по истим правилима као и за деривата. Листа од њих је дат у наставку.

Оно што је још универзална: Пораст аргумента или његовог диференцијала

Овде је неопходно да се направи нека појашњења. Заступљеност валуе ф '(к) диференцијални Δх могуће када разматра к као аргумент. Али функција може бити сложен, у коме к може бити у функцији аргумента т. Онда је представљање диференцијалне експресије ф '(к) Δх, по правилу, то је немогуће; осим у случају линеарног зависности к = у + б.

Што се формула Ф '(к) дк = ди, онда у случају независног аргумента к (тада дк = Δх) у случају параметарске зависности к т, јесте диференцијал.

На пример, израз 2 к Δх је за и = к ² његова диференцијалне када к је аргумент. Ми смо сада х = Т ² и преузме т аргумент. Тада и = к ² = т ^4.

Ово је праћено (т + Δт) ² = т ² + 2тΔт + Δт ^2. Дакле Δх = 2тΔт + Δт ^2. Стога: 2кΔх = 2т ² (2тΔт + Δт ^2).

Овај израз није пропорционална Δт, а самим тим је сада 2кΔх није диференцијал. Може се наћи из једначине и = к ² = т ^4. То је једнако ди = 4Т ³ Δт.

Ако узмемо израз 2кдк, то је разлика И = Кс ² за било који аргумент т. Заиста, када је к = т ² добије дк = 2тΔт.

Дакле 2кдк = 2т ² 2тΔт = 4т ³ .ДЕЛТА.т, т. Е. Експресиони разлике забележене две различите варијабле поклапају.

Замена корацима разлике

Ако је ф '(к) = 0, тада Δу и Ди еквивалентна (када Δх → 0); ако ф '(к) = 0 (значења и ди = 0), нису еквивалентни.

На пример, ако и = к ^{2, тада} Δу = (к + Δх) ² ─ к ² = 2кΔх + Δх ² и Ди = 2кΔх. Ако к = 3, онда имамо Δу = 6Δх + Δх ² и ди = 6Δх који су еквивалентни због Δх ² → 0, када је к = 0 вредност Δу = Δх ² и Ди = 0 нису еквивалентни.

Ова чињеница, заједно са једноставним структуру диференцијалне (м. Е. Линеарити у погледу Δх), често се користи у приближном прорачуну, под претпоставком да Δу ≈ ди за мали Δх. Пронађи разлика функција је обично лакше него израчунати тачну вредност прираста.

На пример, имамо металик коцку са ивицом х = 10.00 см. На грејање предност продужен на Δх = 0.001 цм. Како повећан обим коцке В? Ми имамо В = к ^{2, тако} да је ДВ = 3к ² = Δх 3 ∙ ∙ ^10. фебруара 0/01 = 3 (цм ^3). Повећана ΔВ екуивалент диференцијал дВ, тако да је ΔВ = 3 цм ^3. Фулл обрачун ће дати ΔВ = 10,01 ─ ³ од 10 ³ = 3.003001. Али резултат свих цифара, осим првог непоуздан; Због тога, и даље је неопходно да се заокружи до 3 цм ^3.

Очигледно, овај приступ је користан само ако је могуће проценити вредност пренете са грешком.

Дифферентиал фунцтион: Примери

Хајде да покушамо да нађемо диференцијала на функцију и = к ^{3, проналажење} дериват. Дајмо аргумента прираст Δу и дефинисати.

Δу = (Δх + к) ³ ─ к ³ = 3к ² + Δх (Δх 3кΔх ² + ^3).

Овде, коефицијент А = 3к ² не зависи Δх, тако да је први термин је пропорционална Δх, другог члана 3кΔх Δх ² + ³ када Δх → 0 опада брже од пораста аргумента. Сходно томе, члан 3к ² Δх је диференцијални И = к ^3:

ди = 3к ² Δх = 3к ² дк или д (к ³⁾ = 3к ² дк.

Где д (к ³⁾ / дк = 3к ^2.

Ди Сада пронашли функција И = 1 / х до деривата. Затим д (1 / к) / дк = ─1 / к ^2. Зато Ди = ─ Δх / х ^2.

Разлике у основне алгебарске функције су дати у наставку.

Приближни прорачуни користе диференцијални

Да би се проценио функције ф (к), а његов дериват ф (к) у х = а је често тешко, али да то исто у близини к = А није лако. Затим долазе у помоћ приближан израза

ф (а + Δх) ≈ ф '(а) Δх + ф (а).

Ово даје приближну вредност функције у мањим корацима кроз своју диференцијалну Δх ф '(а) Δх.

Стога, ова формула даје приближну израз за функцију на крајње тачке дела дужине Δх као збир вредност по почетној тачки дела (к = а) и диференцијални у истом почетне тачке. Тачност метода за одређивање вредности функције илуструје цртеж.

Међутим позната и тачан израз за вредност функције к = а + Δх датог формулом коначних корацима (или алтернативно, Лагранге формула)

ф (а + Δх) ≈ ф (ξ) Δх + ф (а),

где тачка к = а + ξ у интервалу од к = а к = а + Δх, мада је њен тачан положај је непознат. Тачна формула омогућава да се процени грешку приближно формуле. Ако ставимо у Лагранге формули ξ = Δх / 2, иако она престаје да буде тачна, али даје, по правилу, много бољи приступ него оригиналан израз у смислу диференцијала.

Евалуације формуле грешке применом диференцијалне

Мерни инструменти , у принципу, нетачне, и довести до мерних података одговара грешке. Карактеришу их ограничавају апсолутну грешку, или, укратко, граница грешка - позитивно, јасно прелази грешку у апсолутној вредности (или највише једнака њега). Ограничавање Релативна грешка назива се коефицијент добијен је дељењем апсолутне вредности измерене вредности.

Нека Тачна формула и = ф (к) функција се користи за вицхислиаенииа и, али вредност к је резултат мерења, и стога доноси грешку и. Затим пронаћи ограничава апсолутна грешка │Δу│функтсии и, користећи формулу

│Δу│≈│ди│ = │ ф '(к) ││Δх│,

где │Δх│иавлиаетсиа маргинална грешка аргумента. │Δу│ количина мора бити заобљена према горе, ас нетачно прорачун је сама замена прираста на обрачун диференцијалне.