Диференцијални рачун функција једног и многих переменних

Диференцијални рачун је грана математичке анализе, која испитује дериват, разлике и њихову употребу у проучавању функција.

Прича о

Диференцијални рачун је настао као независна дисциплине у другој половини 17. века, захваљујући раду Невтон и Леибниз, који је формулисао основне одредбе у обрачун разлика и приметио везу између интеграције и диференцијације. Од дисциплине је развијен уз обрачун интеграла, због чега представља основу за математичке анализе. Појава ових цалцули отворила је нову модерну период у математичком свету и изазвао појаву нових дисциплина у науци. Продужило је могућност примене математике у природним наукама и инжењерства.

основни појмови

Диференцијални рачун је заснована на основним концептима математике. Они су: прави број, континуитет и граница функције. После неког времена, они су се модеран изглед, захваљујући интегралног и диференцијалног рачуна.

Процес стварања

Формирање диференцијалног рачуна у виду апликације, а затим научног метода дошло до појаве филозофске теорије, која је настала Николаи Кузански. Његов рад се сматра еволутивни развој из древне науке пресуде. Упркос чињеници да је и сам филозоф није био математичар, његов допринос развоју математичких наука је непобитна. Цуса, један од прва од разматрања аритметике као најпрецизније науке, математика стављање време у питање.

У древним математичари универзални критеријум је била јединица, док је филозоф предложен као нова мера бесконачности врати тачан број. У вези са овом обрнутом заступљености прецизност у математичке науке. Научно знање, по његовом мишљењу, је подељен на рационалан и интелигентан. Други је прецизније, према научника, пошто је бивши даје само приближне резултате.

идеја

Основна идеја и концепт диференцијалног рачуна у вези са функцијом у малом насељу одређених тачака. За то је потребно да се створи математички апарат да функционише студије чије понашање у малом насељу бодова инсталираних у близини понашање линеарна функција или полинома. На основу ове дефиниције деривата и диференцијала.

Појава концепта деривата је узроковано великим бројем проблема природних наука и математике, што је довело до одређивање граничних вредности истог типа.

Један од главних задатака који су дати као пример, почевши од најстаријих школских часова, јесте да утврди брзину кретања тачке у правој линији и изградње тангента на овој кривој. Диференцијални повезано са овим, јер је могуће да се приближи функцију у малом насељу од тачке линеарна функција.

У поређењу са концептом деривата на функција реалне променљиве, дефиниција разлике једноставно пролази на функцији опште природе, посебно имиџ евклидово простора у други.

извод

Нека се тачке потезе у правцу и-осе, за време узмемо к, која се мери од почетка тренутак. Описују таквог покрета могућ је функцију и = ф (к), који је повезан са свакој временској тачки к координата замењива тачку. Ова функција позив у механици да закон кретања. Основна карактеристика кретања, посебно неравном, је тренутни брзина. Када се тачка креће дуж и-осе у складу са законом механике, случајна временска тачка стекне координата к ф (к). У времену тачке к + Δх где Δх представља пораст времена, то ће кординати ф (к + Δх). Тако формирани формула Δи = ф (к + Δх) - ф (к), која се назива функција прираштај. То је тачка на путу пређени за време од к до к + Δх.

У вези са појавом брзине у тренутку деривата примењује. Извод било које функције у фиксној тачки зове лимит (претпостављајући да постоји). Може се односи на одређене знакова:

ф '(к), и', и, дф / дк, ди / дк, Дф (к).

Процес израчунавања дериват диференцијације позива.

Диференцијални рачун функциј многих переменних

Овај метод се примењује приликом обрачуна студију функцију, неколико варијабли. Када постоје два променљивих к и и, делимична дериват у односу на Кс на тачке А се назива извод ове функције по к са фиксним и.

Могу бити индиковане следећим симболима:

ф '(к) (к, и), у' (к), ∂у / ∂к и ∂ф (к, и) '/ ∂к.

potrebne вештине

Да би се успешно уче и буду у стању да реши диффури потребне вештине у интеграцији и диференцијације. Да би се лакше разуме диференцијалне једначине, мора се разумети тему дериват и неодређени интеграл. Такође, не боли да науче да траже извод имплицитне функције. То је због чињенице да у процесу учења ће често користе интеграли и диференцијацију.

Врсте диференцијалних једначина

Практично сви контролни рад повезан са првог реда диференцијалне једначине, постоје 3 типа једначина: хомогених, са могу раздвојити променљиве, линеарна нехомогена.

Ту су још ретких врста једначине са укупном разлика, Бернули једначине, и други.

Основи решења

За почетак, треба да се присетимо је алгебарски једначина школског наравно. Они садрже променљиве и бројеве. У циљу решавања конвенционални једначину треба да пронађе довољно бројева који задовољавају на одредјени услов. Типично, ови једначине имају један корен, а за нострификацију треба само заменити ову вредност на месту непознатом.

Диференцијални једначина је слична овоме. Уопштено, једначина првог реда обухвата:

• Независни променљива.
• Дериват првог функције.
• Функција или зависна варијабла.

У неким случајевима, може постојати нико непознати, к или и, али није тако важна као што је потребно да прва деривата, без вишег дериватима реда до решења и диференцијалног рачуна тачни.

Решите диференцијалну једначину - значи пронаћи скуп свих функција које су погодне гивен израз. Такви сетови функција се често назива општу контролу решења.

интегрални рачун

Интегрални рачун је један од делова математичке анализе, која испитује концепт интегралних, својстава и метода обрачуна.

Често обрачун интеграл јавља при израчунавању површину од једног криволинијског облика. На тај начин је лимит подручје, према којима је унапред одређена површина уписаног полигона облика са постепеним повећањем у руци, а са стране података може бити мање од било које претходно наведене произвољне мале вредности.

Основна идеја у обрачун подручја било геометријског облика израчунава површину правоугаоника, онда постоје докази да је његова површина је једнака производу дужине од ширине. Када је реч о геометрији, а затим све грађевине су направљене коришћењем лењир и компас, а онда је однос дужине и ширине је рационална вредност. При израчунавању површину правоуглог троугла може се утврдити да ако ставите следећи троугао, се формира правоугаоник. У области паралелограма се обрачунавају на сличан али мало сложенији методи, у оквиру правоугаоника и троугла. У области полигона се разматра троуглова укључени у њу.

У одређивању милост произвољна, овај метод се не уклапа у криву. Ако га разбити у појединим квадрата, она ће остати непопуњених места. У том случају, покушајте да користите два слоја, са правоугаоника изнад и испод, као резултат оних укључују график функције и не укључује. Важно овде је начин да се пробије тих правоугаоника. Исто тако, ако се узме паузу више смањује, подручје на врху и дну треба да се спајају на одређене вредности.

То би требало да се врати на поступак за одвајање у правоугаоника. Постоје два популарни методе.

Риман озваничен дефиницију саставни, створио Лајбниц и Њутн, као области подграф. У том случају, сматра да је фигура која се састоји од одређеног броја вертикалних правоугаоника добија се дељењем интервала. Када разбијање смањење постоји граница до којих је смањена површина таквог фигуре, ова граница се зове Риеманн интеграл функције у одређеном интервалу.

Други метод је да се конструишу Лебесгуе интеграл, састоји у томе што је на месту раздвајања одређеног простора на делу интегранд и састављање затим интегрални збир вредности добијених на овим просторима, у интервалима подељени свој опсег вредности, а затим сумирани са одговарајућим мерама инверзни фотографија ових интеграла.

модерни помагала

Једна од главних предности за проучавање диференцијални и интегрални рачун Фикхтенгол'тс написао - "за диференцијални и интегрални рачун." Његов уџбеник је основно средство за проучавање математичке анализе, која издржао више издања и преводе на друге језике. Створен за студенте и за дуго се користи у различитим образовним институцијама, као један од главних предности ове студије. То даје теоретску информације и практичне вештине. Први пут објављено 1948. године.

Алгоритам истраживање функција

Да би истражили методе функције диференцијалног рачуна, морате да следите је већ дат алгоритам:

1. Финд домен функције.
2. Пронађи корене дате једначине.
3. Израчунајте крајности. Да би то урадили, смо укупну дериват и тачку где је једнака нули.
4. Ми замени вредности добијене у једначини.

Врсте диференцијалних једначина

Контрола првог реда (иначе, диференцијалног рачуна једне променљиве) и њихове врсте:

• Са раздвојити променљиве једначине: ф (и) ди = г (к) дк.
• Најједноставнији једначина или диференцијалног рачуна функција једне варијабле, који има формулу: и '= ф (к).
• Линеарни првог реда неуниформних цонтрол: и '+ П (к) и = К (к).
• Берноулли диференцијална једначина: и '+ П (к) и = К (к) и а.
• Једначина укупне разлике витх: П (к, и) дк + К (к, и) ди = 0.

У диференцијалних једначина другог реда и њиховим врстама:

• Хомогена линеарна другог реда диференцијална једначина са константним ^{коефицијентима: и н + пи '+ КИ} = 0 п, к припада Р.
• Нехомоген линеар другог реда диференцијална једначина са константним коефицијентима ^{вредност: и н + пи '+ КИ} = ф (к).
• Хомогена линеарна диференцијална ^{једначина: и н + п (к)} и '+ к (к) и = 0, и нехомоген ^{једначина} другог ^{реда: и н + п (к)} и' + к (к) и = ф (к).

Диференцијалне једначине виших налога и њиховим врстама:

• Диференцијална једначина, омогућавајући смањење ^{налога: Ф (к, и (к} ), и (к + ^{1), .., и (н)} = 0.
• Линеарна једначина вишег реда ^{_{хомогеног: и (н) + ф (}} н- ₁₎ и ^(н-1) + ... + ф ₁ и '+ ф ₀ и = 0, и ^{_{нехомогеном: и (н) + ф (}} н _-1) и ^(н-1) + ... + ф ₁ и '+ ф ₀ и = ф (к).

Фазе решавање проблема са диференцијалне једначине

Уз помоћ даљинског управљача се решити не само математику или физичке проблеме, али и различите проблеме биологије, економије, социологије и других. Упркос широком спектру тема, треба да прати једну логичку секвенцу за решавање ових проблема:

1. Израда контроле. Један од најтежих фаза, што захтева максималну прецизност, јер ће свака грешка довести до потпуно погрешних резултата. Потребно је узети у обзир све факторе који утичу на процес и утврдити почетне услове. Такође би требало да буде заснована на чињеницама и логичних закључака.
2. За решавање једначине. Овај процес је лакше за прву тачку, јер захтева само строгу примјену математичких прорачуна.
3. Анализа и евалуација резултата. Изведени решење треба проценити за уградњу практичног и теоријског вредности резултата.

Пример употребе диференцијалних једначина у медицини

Коришћење даљинског управљача у области медицине налази се у изградњи епидемиолошке математичког модела. Не треба заборавити да су ове једначине могу наћи иу биологије и хемије, који су близу медицине, јер се игра важну улогу у студију различитих биолошких популација и хемијских процеса у људском телу.

У овом примеру, епидемија ширења инфекције се може третирати изоловано заједници. Становници су подељени у три групе:

• Инфецтед, број к (т), која се састојала од појединаца, инфективних носачи, од којих је сваки инфективна (период инкубације је кратак).
• Други тип укључује подложних особа и (т), може заразити контактом са инфицираним.
• Трећи тип укључује ватростални појединце з (т), који су имуни или изгубљене због болести.

Број особа константно, држећи рођење, природне смрти и миграција се не сматра. У сржи биће две хипотезе.

Проценат болест у неком временском тренутку једнак к (т) и (т) (на претпоставка на теорији да је број предмета у сразмерно броју раскрснице између пацијената и осетљивих чланова, које у првој апроксимацији пропорционалан к (т) и (т)), у stoga број случајева је у порасту, а број пријемчивих опада по стопи која се израчунава формулом секиром (т) и (т) (а> 0).

Број не реагују животиње који су умрли или стечени имунитет, повећао се по стопи која је пропорционална броју случајева бк (т) (б> 0).

Као резултат тога, можете да подесите систем једначина са сва три показатеља на основу својих закључака.

Пример примене економија

Диференцијални рачун се често користи у економској анализи. Главни задатак у економској анализи се сматра да је студија о вредности економије, које води у облику функције. Користи се у решавању проблема, као што су промене у порезу на доходак расте одмах након уласка, накнада, промене у приходима, када мењају вредност производа, у шта пропорција може бити замењен пензионисаним радницима са новом опремом. Да реше проблеме, потребно је да се изгради функцију комуникације долазних варијабли, који, након што је изучавао диференцијалног рачуна.

често је потребно пронаћи најоптималније перформансе у економској сфери: максималну продуктивност, највећи приход, најмањи трошак и тако даље. Свака таква компонента је функција једног или више аргумената. На пример, производња се може сматрати као функција рада и капитала. У вези с тим, тражење одговарајућег вредност се може смањити на проналажењу максимум или минимум функције једног или више варијабли.

Такви проблеми створити класу кстремал проблема у економској области, за које је потребно диференцијалног рачуна. Када је потребна економска показатељ минимализује или максимализује у функцији других параметара, однос прираст максималан број поена функција на аргументе ће тежити нули уколико прираштај аргумента тежи нули. Иначе, када је такав став тежи одређеном позитивном или негативном вредности, наведена ствар није погодан јер повећањем или смањењем аргумент могу мењати зависне вредности у жељеном правцу. У диференцијалног рачуна терминологији, то би значило да се потребни услови за максималну функцију ис а зеро вредност његовог деривата.

Економија није неуобичајено проблем проналажења екстрем у функцији неколико варијабли, јер економски показатељи су састављена од много фактора. Таква питања су добро схваћени у теорији функција више варијабли, метода израчунавања диференцијал. Такви проблеми обухватају не само највећа, а минимизира функцију, али и ограничења. Ова питања се односе на математичког програмирања, и они се решавају уз помоц посебно развијених метода су такође на основу ове гране науке.

Међу методама диференцијалног рачуна се користе у привреди, важан део је био велики тест. У економској сфери, термин се односи на скуп метода истраживања променљиве учинка и резултати када промените јачину звука стварања, потрошње, на основу анализе њихових граничних вредности. Ограничавање индикације сматрају дериват или делимичне деривате са неколико варијабли.

Диференцијални рачун од неколико варијабли - важна тема математичке анализе. За детаљне студије, можете користити различите учила за институције високог образовања. Један од најпознатијих насталих Фикхтенгол'тс - "на диференцијални и интегрални рачун." Колико имена за решавање диференцијалних једначина велике важности да имају способности за рад са интеграла. Када постоји диференцијални рачун функције једне променљиве, одлука постаје лакше. Иако, треба имати у виду, следи иста основна правила. У пракси, да се испита функцију диференцијалног рачуна, само пратите већ постојећи алгоритам, који је дат у средњој школи, а само мало компликован са увођењем нових варијабли.