Линеарни и хомогена диференцијална једначина првог реда. Примери решења

Мислим да би требало да почне са историјом славног математичког алата као диференцијалних једначина. Као и сви диференцијални и интегрални рачун, те једначине су измислили Невтон крајем 17. века. Он је веровао да је његово откриће толико важно да чак и кодиран поруке, које данас могу превести на следећи начин: ". Све законе природе који је описао диференцијалних једначина" То може изгледати претјеривање, али то је истина. Сваки закон физике, хемије, биологије, може се описати овим једначинама.

Огроман допринос развоју и стварању теорије диференцијалних једначина има математику Еулер и Лагранге. Већ у 18. веку су открили и развили оно што се сада студира на вишим универзитетске курсеве.

Нова прекретница у истраживању диференцијалних једначина је почела захваљујући Анри Пуанкаре. Он је створио "квалитативну теорију диференцијалних једначина", која, у комбинацији са теоријом функција комплексне променљиве значајно допринијели оснивања топологије - науке простора и његових својстава.

Шта су диференцијалне једначине?

Многи људи се плаше израза "диференцијалне једначине". Међутим, у овом чланку ћемо се детаљно суштину овог веома корисног математичког алат који је заправо није тако компликовано као што изгледа из наслова. Да би могао почети да говоримо о првог реда диференцијалне једначине, прво морате да се упознају са основним појмовима који су себи у вези са овом дефиницијом. И ми ћемо почети са диференцијалом.

диференцијални

Многи људи знају овај термин још од средње школе. Међутим, и даље задржавати на томе детаљно. Замислите график функције. Можемо га повећати до те мере да ни у једном сегменту постаје праву линију. Требаће две тачке које су бескрајно близу једни другима. Разлика између њихових координата (Кс или И) је бескрајно. И то се зове диференцијал и ликови одредити ди (диференцијални од И) и ДКС (диференцијални од к). Важно је да се схвати да је диференцијални није крајњи вредност, а то је смисао и главна функција.

И сада морате размотрити следеће елементе, који ћемо треба да објасне концепт диференцијалне једначине. То - дериват.

извод

Сви ми мора да је чула у школи и овај појам. Они кажу да је дериват - је стопа раста или смањења функције. Међутим, ова дефиниција постаје збуњујуће. Хајде да покушамо да објаснимо изведене услове разлики. Хајде да се вратимо на инфинитезимални интервал функцију са две тачке, које се налазе на минималној удаљености један од другог. Међутим, чак и изван ове дистанце функција је време да се промени на неку вредност. И да опише ту промену и смислити деривата који би иначе може написати као однос разлики: ф (к) '= ДФ / дк.

Сада је потребно узети у обзир основне особине деривата. Постоје само три:

1. Дериват сума или разлика може представити као збир или разлика деривата: (а + б) '= а' + б ', и (аб)' = А'-б '.
2. Друга особина је повезан са множењем. Деривативе воркс - је збир дела једне функције на друго дериват: (а * б) '= А' * б + а * б '.
3. Извод разлике може бити написана као следећом једначином: (а / б) '= (а' * ба * б ') / б ^2.

Све ове карактеристике доћи за проналажење решења за диференцијалне једначине првог реда.

Такођер, постоје парцијални изводи. Претпоставимо да имамо функцију з, која зависи од променљиве к и и. Да бисте израчунали парцијалних извода ове функције, на пример, у к, морамо узети варијабилне и за стално и лако разликовати.

саставни

Још један важан концепт - интегрални. Заправо је супротно од деривата. Интеграли неколико типова, али најједноставније решења диференцијалних једначина, морамо највише тривијалне неограничене интеграли.

Дакле, оно што је саставни? Рецимо да имамо неку везу ф по к. Узимамо из њега саставни и добије функцију ф (к) (често назива примитивна), што представља дериват првобитну функцију. Стога Ф (к) '= ф (к). Ово подразумева да интеграл деривата једнак је првобитну функцију.

У решавању диференцијалних једначина веома је важно да се схвати значење и функцију саставни, јер врло често морају да их одведем у проналажењу решења.

Једначине се разликују у зависности од њихове природе. У следећем одељку ћемо погледати врсте првог реда диференцијалних једначина, а затим научити како да их реше.

Класе диференцијалних једначина

"Диффури" подељена по налогу деривата укључених у њима. Тако је први, други, трећи или више реда. Они такође се могу поделити у неколико класа: обичних и парцијалних.

У овом чланку, ми ћемо размотрити обичне диференцијалне једначине првог реда. Примери и решења расправљамо у следећим поглављима. Ми сматрамо само ТАЦ јер је најчешћи типови једначина. Ординари подељена на подврсте: са раздвојити варијаблама, хомогеном и хетерогеном. Затим ћете научити како се разликују једни од других, и научити како да их реше.

Поред тога, ова једначина може да се комбинује, тако да након што се систем диференцијалних једначина првог реда. Такви системи, такође погледати и научити како да се реши.

Зашто ми се разматра само први ред? Јер је неопходно да се почне са једноставан и описати све у вези са диференцијалне једначине, у једном чланку да је немогуће.

Једначина са раздвојивих варијабли

Ово је можда најједноставнији првог реда диференцијалне једначине. То су примери који се могу написати као: и '= ф (к) * ф (и). Да бисте решили ове једначине морамо заступљеност формулу дериват као однос на разлика: и '= ди / дк. Са њим добијамо једначину: ди / дк = ф (к) * ф (и). Сада можемо да пређемо на начин решавања стандардних примера: раздвојити променљиве у деловима, тј брзо напред све променљиве и у делу где постоји Ди, али и направити променљиву к ... Добијамо једначину облика: ДИ / ф (и) = ф (к) дк, која се постиже узимањем интеграла два дела. Не заборавите да је константа која желите да поставите после интеграције.

Решење било "диффура" - је функцију Кс, и (у нашем случају), или ако постоји нумерички услов, одговор је број. Размотримо један конкретан пример цео ток одлуке:

и '= 2и * син (к)

Пребаци променљиве у различитим правцима:

ди / и = 2 * син (к) дк

Сада узми интеграли. Сви они се могу наћи у посебној табели интеграла. И добијамо:

лн (и) = -2 * цос (к) + Ц

Уколико је потребно, можемо изразити "и" у функцији "Кс". Сада можемо да кажемо да је наш диференцијална једначина је решен, ако није наведено стање. Може да се специфицира услов, на пример, и (н / 2) = е. Онда ћемо једноставно заменити вредност ових варијабли у одлуци и наћи вредност константе. У нашем примеру, то је 1.

Хомогене првог реда диференцијалне једначине

Сада на сложенијих делова. Хомогене први ордер диференцијалне једначине могу се написати у општем облику као: и '= з (к, и). Треба напоменути да је право функција две променљиве је јединствен, и не може се поделити на два у зависности од: з Кс и З и. Проверите да ли је једначина хомогена или не, је сасвим једноставан: ми направити супституције х = К * Кс и И = к * и. Сада смо смањити све к. Ако се одбацују та писма, онда једначина хомогена и могу безбедно прећи на његовом решавању. Гледајући унапред, ми кажемо: принцип решавања ових примера је такође веома једноставна.

Морамо направити замена и = т (к) * к, где је т - функција која такође зависи од к. Онда можемо изразити дериват: и '= т' (к) * к + т. Заменом све то у нашу оригиналну једначину и да је поједностављење, имамо пример поделе променљиве т као к. Решите га и добије зависност Т (Кс). Када смо га, једноставно замени нашу претходну замене и = т (х) * к. Онда добијамо зависност к, и.

Да би се јасније, ми ћемо схватити пример: к * и '= и к * е и / к.

Када проверавате замену свих опада. Дакле, једначина је заиста хомогена. Сада се још један замену, разговарали смо о: и = т (х) * к и и '= Т (к) * к, Т (Кс). Након поједностављење следеће једначине: т '(к) * к = -е т. Ми смо одлучили да се узорак са издвојеним варијабли и ^{добијамо: е-т = У (Ц *} к). Ми само треба да замени т по и / х (јер ако је и = т * к, тада т = и / х), и добијамо ^{одговор: Е -и / х = ЛН (} х * , Ц).

Линеарни диференцијална једначина првог реда

То је време да се размотри још једну широку тему. Тражићемо хетерогених првог реда диференцијалне једначине. Како се они разликују од претходна два? Будимо искрени. Линеарни првог реда диференцијалне једначине у општој форми једначине може се написати овако: и '+ г (к) * и = з (к). Треба појаснити да з (к) и г (к) може бити константне вредности.

Ево једног примера: И '- И * х = х ^2.

Постоје два начина да се реше, а ми нареди Размотримо оба. Први - метода варијације произвољних константи.

Да бисте решили једначину на овај начин, потребно је да се изједначе прву десну страну на нулу, и реши настали једначину која је након преноса делова постаје:

и '= и * к;

ди / дк = и * к;

ди / и = кдк;

У | И | = х ^2/2 + К;

и = е ^{к2 / 2} * ^Ц и = Ц ₁ * е ^{к2 / 2.}

Сада је потребно да се замени константа Ц ₁ на функције в (к), које ћемо наћи.

и = в * е ^{к2 / 2.}

Драв деривате замене:

^{и '= в' * е к2} / ² -к * в * е ^{к2 / 2.}

И заменом ове изразе у оригиналној једначини:

в '* е ^{к2 / 2} - к * в * е ^{к2 / 2} + к * в * е ^{к2 / 2} = к ^2.

Можете видети да у левом делу ова два термина су смањени. Ако неки пример да то није десило, онда сте учинили нешто погрешно. Ми смо и даље:

в '* е ^{к2 / 2} = к ^2.

Сада смо решили уобичајене једначину у којој желите да одвоје варијабле:

дв / дк = к ^{2 /} е ^к2 / ^2;

дв = к ² * е ^{- к2 / 2} дк.

Да бисте уклонили интегрални, морамо применити интеграцију би партс овде. Међутим, то није тема овог чланка. Ако сте заинтересовани, можете научити сами да спроведу такве акције. То није тешко, и са довољно вештине и негу није доста времена.

Позивајући се на другом методу решење на нехомогених једначина: Берноулли метод. Који приступ је брже и лакше - то је на вама.

Дакле, приликом решавања ову методу, морамо направити замена И = К * н. Овде, к и н - неке функције у зависности од к. Онда ће дериват ће изгледати: и '= к' * н + к * н '. Замјена два замене у једначини:

к '* н + к * н ' + к * к * н = к ^2.

Група се:

к '* н + к * ( н' + к * н) = к ^2.

Сада је потребно да се изједначе на нулу, то је у загради. Сада, ако комбинујете два настале једначине, добијамо систем првог реда диференцијалних једначина које треба решити:

н '+ к * н = 0;

К '* н = к ^2.

Први једнакост одлучити како је уобичајено једначину. Да бисте то урадили, морате да одвојите варијабле:

дн / дк = к * в;

дн / н = кдк.

Ми се саставни и добијамо: лн (н) = к ^2/2. Онда, ако изражавамо Н:

н = е ^{к2 / 2.}

Сада заменити добијену једначину у другој једначини:

К '* е ^{к2 / 2} = к ^2.

И трансформацију, добијамо исту једначину као у првом методу:

дк = к ^{2 /} е ^к2 / ^2.

Такође, неће расправљати даље акције. Каже се да је у првих првог реда диференцијалних једначина решење ствара велике тешкоће. Међутим, дубље потапање у теми почиње да се боље и боље.

Где су диференцијалне једначине?

Врло активни диференцијалне једначине које се користе у физици, као скоро сви основни закони су писани у диференцијалној форми, и оне формуле, да видимо - решење за ове једначине. У хемији, они се користе за истог разлога: основни закони су изведени кроз њих. У биологији су диференцијалне једначине се користе за моделирање понашања система, попут ловца - Преи. Они се такође могу користити за стварање модела репродукције, на пример, колоније микроорганизама.

Као диференцијалне једначине помоћи у животу?

Одговор на ово питање је једноставан: ништа. Ако нисте научник или инжењер, мало је вероватно да ће бити користан. Међутим, не шкоди да зна шта се диференцијалне једначине и да је решен за укупан развој. А онда је питање сина или ћерку, "шта је диференцијална једначина?" не те у ћорсокаку. Па, ако сте научник или инжењер, онда знате важност ове теме у било науци. Али најважније, да сада на питање "како да се реши диференцијалне једначине првог реда?" увек ћете бити у могућности да дају одговор. Слажем се, увек је лепо када схватите да је оно што људи још плаше да сазнамо.

Главни проблеми у истраживању

Главни проблем у разумевању ове теме је лоша навика функција интеграције и диференцијације. Уколико нисте АССУМЕ деривате и интеграле, то је вероватно вреди више да уче, да науче различите методе интеграције и диференцијације, па тек онда прећи на проучавању материјала који је описан у тексту.

Неки људи су изненађени сазнањем да ДКС се може пренети, као што је претходно (у школи) је тврдио да је фракција Ди / ДКС је недељива. Онда морате да прочитате литературу о деривата и схватити да је став бесконачно малим количинама, које се може манипулисати у решавању једначина.

Многи људи не схватају да одмах решење диференцијалних једначина првог реда - то је често функција или неберусцхиисиа интегрални, и то заблуда им даје много проблема.

Шта друго може се проучавати да боље разумеју?

То је најбоље почети даље потапање у свет диференцијалног рачуна специјализованих уџбеника, на пример, у математичке анализе за студенте не-математичких специјалитета. онда можете прећи на више специјализоване литературе.

Он је рекао да, поред разлици, још увек су саставни једначине, тако да ће увек имати нешто да теже за и шта да студирају.

закључак

Надамо се да ће након читања овог чланка ћете имати идеју о томе шта су диференцијалне једначине и како да их правилно решити.

У сваком случају, математике на било који начин користан за нас у животу. Развија логику и пажњу, без којих сваки човек, као без руку.