Систем линеарних алгебарских једначина. Хомогена систем линеарних алгебарских једначина

У школи, свако од нас је студирао једначину и, свакако, систем једначина. Али не много људи знају да постоји неколико начина за њихово решавање. Данас ћемо тачно видети све методе за решавање система линеарних алгебарских једначина, које се састоје од више од две једначине.

прича

Данас знамо да је уметност решавања једначина и њихових система настао у древном Вавилону и Египту. Међутим, једнакост у свом познатом облику изгледа да нам након појаве знака једнакости "=", који је уведен у 1556 од стране енглески математичар записа. Узгред, овај симбол је изабран за једног разлога: то значи два паралелна једнака сегмента. Заиста, најбољи пример једнакости не долази до.

Оснивач модерне словима и симболима непознатог обима, француски математичар Франсуа Вијетнам. Међутим, његова ознака је значајно разликује од данас. На пример, квадрат непознатог броја је означен словом К (година "куадратус".), И коцка - (лат. "Цубус") у писму Ц. Ови симболи сада изгледа непријатно, али тада је било највише интуитиван начин да се напише систем линеарних алгебарских једначина.

Међутим, недостатак у преовлађујућим методама решења је да су математичари обзир само позитивне корене. Можда је то због чињенице да негативне вредности немају никакву практичну примену. На овај или онај начин, али прво да се сматра негативним корени почела након италијанске математике Николо Тартаља, Ђироламо Кардано и Рафаел Бомбелли у 16. веку. Модеран изглед, главни метод рјешавања квадратна једначина (преко Дисцриминант) је основан тек у 17. веку кроз дела Декарта и Њутна.

У средини швајцарског математичара 18. века Габријел Крамер пронашли нови начин да се решење система линеарних једначина лакше. Овај метод је касније назван по њему, и до данашњег дана да га користимо. Али о начину Крамера разговора мало касније, али за сада ћемо разговарати линеарне једначине и њихова решења одвојено од система.

линеарне једначине

Линеарне једначине - најједноставнији једначина са варијаблом (с). Они припадају Алгебраиц. Линеарне једначине написане у општем облику: а ₁ * к ₁ + а _{2 *} к ₂ + ... и _н * к _н = б. Подношење овог облика ћемо морати у припреми система и матрица на.

Систем линеарних алгебарских једначина

Дефиниција овог термина је: скуп једначина који имају заједничке непознанице и опште решење. Типично, у школи сви решен систем са два или чак три једначине. Али постоје системи са четири или више компоненти. Хајде да прво видимо како да их запишете тако да касније било згодно да се реши. Прво, систем линеарних алгебарских једначина ће изгледати боље ако су све променљиве написан као х са одговарајућим индексом: 1,2,3 и тако даље. Друго, треба да доведе све једначине до канонског облика: а ₁ * к ₁ + а _{2 *} к ₂ + ... и _н * к _н = б.

После свих ових корака, можемо почети да вам кажем како пронаћи решење система линеарних једначина. Хвала на који ће доћи у практичном матрици.

матрица

Матрик - табела која се састоји од редова и колона, и његови елементи су на њиховом пресеку. То може бити или одређену вредност или променљиву. У већини случајева, да одреди елементе који су распоређени испод Субсцриптс (нпр ₁₁ или ₂₃ Па). Први индекс означава број реда, а други - у колону. Изнад матрице као изнад и било ког другог математичког елемент може да обавља различите операције. Дакле, можете:

1) Одузети и додати исте величине табеле.

2) Помножите матрица на било који број или вектор.

3) Транспосе: трансформ матрикс линија у колонама, а колоне - у линији.

4) Помножите матрица, ако је број редова једнак једном од њих различит број колона.

Да дискутују у детаље све ове технике, као што су корисни за нас у будућности. Одузимање и сабирање матрица је врло једноставна. Пошто смо се исти матрицу величине, сваки елемент једног стола је повезана са сваком другом елементу. Тако смо додати (одузмемо) два од ових елемената (важно је да су стајали на истом терену у својим матрица). Када се помножи са бројем матрице или вектором једноставно помножити сваки елемент матрице тог броја (или вектором). Преношење - веома интересантан процес. Врло интересантно понекад да га видим у стварном животу, на пример, када се промени оријентацију таблету или телефону. Иконе на десктопу је матрица, и са променом положаја, она је пренета и постаје шири, али смањује у висини.

Размотримо више процес, као што је матрица множење. Иако нам је рекао, и није корисно, али будите свесни да још увек је корисно. Мултипли две матрице могу бити само под условом да је број колона у једној табели једнак броју редова других. Сада се оне матрица линијске елементе и друге елементе одговарајућој колони. Помножите их међусобно и затим сума (тј, на пример, производ елемената ₁₁ и ₁₂ и на ₁₂ Б и ₂₂ Б ће бити једнака: А * Б _{11 12} + ₁₂ * б и _22). Тако, једна ставка сто, а начин сличан њему је испуњена даље.

Сада можемо почети да размотри како да се реши система линеарних једначина.

гаус

Ова тема је почела да се одржи у школи. Ми знамо врло добро да је концепт "система од две линеарних једначина" и знају како да их реше. Али, шта ако је број једначина је већи од два? То ће нам помоћи Гаус метод.

Наравно, овај метод је погодан за коришћење, ако направите матрице система. Али не можете га претворити и одлучи сама.

Дакле, како га решити системом линеарних једначина Гаусс? Узгред, иако овај метод и назван по њему, али је открио да је у древним временима. Гаусс има операцију извршена са једначинама, да на крају доведе до тоталитету на ешалон облику. То је, треба да одозго на доле (ако се правилно место) од првог до последњег једначине опало један непознати. Другим речима, морамо да будемо сигурни да имамо, рецимо, три једначине: Први - три непознанице, у другом - два у трећем - један. Затим, од последњег једначине, налазимо први непознато, замени своју вредност у другом или прве једначине, и даље наћи преостале две варијабле.

Крамерово правило

За развој ове технике је од виталног значаја да савладају вештине тога, одузимање матрица, као и потребу да буде у стању да пронађу детерминанте. Стога, ако вам је непријатно радите све ово или не знају како, неопходно је да се науче и буду обучени.

Шта је суштина ове методе, и како да то уради, да се систем линеарних једначина Црамер? То је врло једноставно. Морамо да изградимо матрицу бројева (скоро увек) коефицијенте система линеарних алгебарских једначина. Да бисте то урадили, једноставно се број непознатог, а ми договорити сто у циљу да се снима у систему. Ако пре број је знак "-", онда пишемо негативан коефицијент. Дакле, направили смо први матрицу коефицијената непознаница, не укључујући број након знака једнакости (наравно, да једначина мора да се сведе на канонском облику када је право је само број, а лева - све непознанице са коефицијентима). Онда треба да направи неколико матрице - један за сваку променљиву. За ову сврху, у првој матрици замењује једној колони сваки бројева колона са коефицијентима након знака једнакости. Тако смо добили неколико матрице, а затим наћи њихових детерминанти.

Након што смо пронашли квалификације, то је мали. Имамо иницијално матрицу, а постоји неколико изведене матрице, који одговарају различитим варијаблама. Да бисте добили решење система, делимо детерминанту насталог стола на примарном детерминанта на табели. Добијени број је вредност једне променљиве. Слично томе, налазимо све непознанице.

друге методе

Постоји неколико метода у циљу добијања раствора система линеарних једначина. На пример, такозвани Гаусс-Јордан метода, која се користи за проналажење решења система квадратна једначина, као и односи на употребу матрице. Ту је и метод Јакоби за решавање система линеарних алгебарских једначина. Он лако се прилагођава свим рачунарима и користи се у рачунању.

компликоване случајеве

Сложеност се обично дешава ако је број једначина је мањи од броја варијабли. Онда сигурно можемо рећи да, или је систем у складу (тј, нема корене), или број његових одлука тежи бесконачности. Ако имамо други случај - да је потребно да се напише опште решење система линеарних једначина. Она ће укључивати најмање један варијабилни.

закључак

Овде долазимо до краја. Да резимирамо: морамо да разумемо шта је матрица система, научио да пронађу опште решење система линеарних једначина. Поред тога смо сматрали друге опције. Схватили смо како да решимо система линеарних једначина: Гаусовој елиминације и крамерово правило. Разговарали смо о тешким случајевима и других начина проналажења решења.

У ствари, ово питање је много обимнија, а ако желите да га боље разумеју, саветујемо вам да прочитате више специјализоване литературе.